MÉTRIQUES (ESPACES)

MÉTRIQUES (ESPACES)

La notion d’espace métrique, introduite en 1906 par M. Fréchet et développée peu après par F. Hausdorff, est directement issue d’une analyse des principales propriétés de la distance usuelle. L’extension aux espaces métriques des propriétés de l’espace euclidien qui sont définissables à partir de la distance seule introduit un langage géométrique dans de nombreuses questions d’analyse et de théorie des nombres. C’est ainsi que l’on définit, à partir des boules, les ouverts. Par la manière naturelle dont s’introduisent les voisinages et les notions de limite et de continuité, l’étude des espaces métriques est une excellente introduction à la topologie générale ^{[cf. TOPOLOGIE - Topologie générale]}.

1. Distances

L’analyse des principales propriétés de la distance entre deux points dans l’espace euclidien conduit à la définition axiomatique suivante. On appelle distance sur un ensemble E une application d de E 憐 E dans l’ensemble R⁺ des nombres réels positifs ou nul telle que, quels que soient les éléments x , y et z de E, on ait:

cette dernière condition est appelée inégalité triangulaire car elle est la généralisation de la classique inégalité entre les longueurs des côtés d’un triangle.

Un ensemble E muni d’une distance s’appelle un espace métrique. Si (E, d ) et (E , d ) sont deux espaces métriques, une bijection f de E sur E sera dite une isométrie si elle conserve la distance, c’est-à-dire si d (f (x ), f (y )) = d (x , y ) quels que soient x , y 捻 E; deux espaces métriques sont dits isométriques s’il existe une telle isométrie de l’un sur l’autre et présentent alors, «par transport» au moyen de cette isométrie, des propriétés semblables.

Exemples

On verra dans ce qui suit que la notion d’espace métrique recouvre un matériau mathématique très varié. Comme exemple extrême, remarquons que tout ensemble peut être muni de la distance, dite triviale , définie par d (x , x ) = 0, d (x , y ) = 1 si x y. Si E est un espace métrique de distance d , tout sous-ensemble A de E est un espace métrique, dit sous-espace métrique de E pour la distance induite d définie par d (x , y ) = d (x , y ), x , y 捻 A.

Une classe très importante d’espaces métriques est constituée par les espaces vectoriels normés , en définissant ici la distance de deux éléments x et y comme la norme de leur différence, soit:

la distance ainsi obtenue est invariante pour les translations de l’espace vectoriel, c’est-à-dire d (x 漣 a , y 漣 a ) = d (x , y ) quels que soient les éléments x , y et a. Nous renvoyons à l’article espaces vectorielsNORMÉS pour de nombreux exemples, relatifs à l’analyse fonctionnelle notamment, et mentionnerons seulement ici les trois distances suivantes, qui sont déduites des normes correspondantes, sur R²:

où x = (x ¹, x ²), y = (y ¹, y ²). Ces distances vérifient les inégalités:

dont on verra des conséquences plus bas. Si (E, 嗀) et (E , 嗀 ) sont des espaces métriques, on peut utiliser ce qui précède pour définir des distances 嗀ⁱ sur le produit cartésien E 憐 E , en posant:

où i = 1, 2, 3, et où les d ⁱ sont les distances sur R² ci-dessus.

Les espaces vectoriels normés sont les espaces métriques dont les propriétés «ressemblent le plus» à celles des espaces numériques habituels. Donnons maintenant des exemples qui ne rentrent pas dans ce cas.

– La droite numérique achevée. Désignons par R 漣 la droite numérique achevée, R 漣 = R 聆漣 秊參 聆+ 秊參, qui est obtenue en adjoignant à l’ensemble R des nombres réels deux nouveaux éléments, que l’on désigne traditionnellement par 漣 秊 et + 秊 vu le rôle qu’ils jouent en analyse, et remarquons que l’application f , définie par:

réalise une bijection de R 漣 sur le segment [ 漣 1, + 1]. On peut donc transporter la distance usuelle sur R, en définissant une distance d sur R 漣 par:

bien entendu f est une isométrie de R 漣, muni de cette distance d , sur le segment fermé [ 漣 1, 1] muni de la distance habituelle, puisqu’on a fait exactement ce qu’il fallait pour cela!

戀

漣 Distances p-adiques sur Q. En théorie des nombres, on associe à tout nombre premier p une distance sur l’ensemble Q des nombres rationnels de la manière suivante. Pour tout entier n strictement positif, soit v(n ) sa valuation p- adique, c’est-à-dire l’exposant de p dans la décomposition de n en facteurs premiers; ainsi v(n ) = 0 pour n non divisible par p et v(nn ) = v(n ) + v (n ). Prolongeons alors v à l’ensemble Q des rationnels non nuls en remarquant que si x = 梁 r /s , alors v(x ) = v(r ) 漣 v(s ) ne dépend que du rationnel x et non du choix de la fraction r /s ; on vérifie facilement que l’on a:

pour z , z 捻 Q. On définit alors la distance p- adique sur Q par:

où x, y 捻Q. La condition (1) est claire, et la condition (2) résulte de (a). La condition (b) entraîne que l’on a la condition (3 ), qui entraîne (3):

Un espace métrique dont la distance vérifie la condition (3 ), plus forte que l’inégalité triangulaire (3), est dit ultramétrique ; comme on le verra, ces espaces ont des propriétés très particulières.

Le langage géométrique

Les boules, définies à partir de la distance comme dans l’espace euclidien, constituent la notion géométrique essentielle dans les espaces métriques. Dans un espace métrique E de distance d , on appelle boule ouverte de centre x ⁰ 捻 E et de rayon r 礪 0, l’ensemble des points de E dont la distance à x ⁰ est strictement inférieure à r , soit:

de manière analogue, on définit la boule fermée de centre x ⁰ et de rayon r :

la justification des qualificatifs ouvert et fermé apparaîtra plus bas. Nous renvoyons aux figures 1, 2 et 3 de l’article sur les espaces vectoriels NORMÉS pour une représentation des boules quand on munit R² des distances d ¹, d ² et d ³ déjà mentionnées. Les inégalités établies entre ces distances se traduisent par les inclusions:

en désignant par Bⁱ la boule pour la distance d ⁱ (cf. figure).

Si A est une partie d’un espace métrique E et x 捻 E, on appelle distance de x à A la borne inférieure de l’ensemble des nombres d (x , y ) pour y 捻 A, soit:

c’est le rayon de la plus grande boule ouverte de centre x qui ne rencontre pas A. Pour bien expliquer cette notion, établissons la relation:

pour deux éléments x et x quelconques de E. Par définition de la borne inférieure, pour tout 﨎 礪 0, il existe y 捻 A tel que:

par suite, d’après l’inégalité triangulaire,

ce qui entraîne:

donc:

et, par suite, puisque 﨎 est quelconque,

échangeant les rôles de x et x et rassemblant les deux résultats, on obtient la conclusion recherchée.

Continuons à transposer le vocabulaire géométrique usuel; nous dirons qu’un sous-ensemble A d’un espace métrique E de distance d est borné s’il est contenu dans une boule. Cela équivaut à dire que le nombre:

appelé diamètre de l’ensemble A, est fini.

Le langage géométrique que nous venons d’introduire dans les espaces métriques constitue un support pour une intuition géométrique qui est très utile mais doit être soigneusement contrôlée car elle n’est pas sans surprises et risque d’utiliser implicitement, sans s’en rendre compte, des propriétés de l’espace euclidien plus riches que sa seule structure métrique. Par exemple, si A est une boule de rayon r , on montre facilement avec l’inégalité triangulaire que son diamètre est 諒 2r , mais on ne peut affirmer l’égalité que si on a un espace vectoriel normé. Les espaces ultramétriques présentent ainsi de nombreux phénomènes «pathologiques», en ce sens qu’ils sont contraires à l’intuition géométrique courante; le mathématicien qui travaille sur ces espaces est ainsi amené à développer une «intuition géométrique» qui peut sembler tout à fait ésotérique au profane... Ainsi, dans un tel espace, il n’y a pas de boules sécantes , en ce sens que si deux boules B(x , r ) et B(x , r ), r 諒 r , ont un point commun y , alors B(x , r ) 說 B(x , r ). En effet, soit z un point quelconque de B(x , r ), c’est-à-dire d (x , z ) 麗 r 諒 r ; on a, d’après (3 ), d (y , z ) 諒 sup (d (y , x ),d (x , z )) 麗 r puisqu’on a aussi d (x , y ) 麗 r car y 捻 B(x , r ). Utilisant à nouveau (3 ), on a:

donc z 捻 B(x , r ), ce qui établit l’inclusion annoncée; on aurait une démonstration analogue pour deux boules fermées. Nous verrons dans le chapitre suivant que cette particularité des espaces ultramétriques nous réserve encore bien des surprises.

2. Topologie d’un espace métrique

À partir des boules, on peut construire sur un espace métrique les principales notions topologiques qui permettent de «faire de l’analyse». À ce propos, par la clarté avec laquelle les notions de limite et de continuité s’expriment au moyen de la terminologie que nous allons introduire, la théorie des espaces métriques constitue un excellent préliminaire à la topologie générale.

Ouverts et fermés

Soit E un espace métrique de distance d. On dit qu’un sous-ensemble U de E est ouvert si pour tout point x 捻 U il existe une boule ouverte de centre x contenue dans U. D’après un principe général de logique, l’ensemble vide, qui n’a pas d’élément, est donc ouvert. Faisons le lien avec la terminologie introduite plus haut en montrant qu’une boule ouverte B(x ⁰, r ) est un ensemble ouvert : en effet, si x 捻 B(x ⁰, r ), l’inégalité triangulaire entraîne que B(x , r ) 說 B(x ⁰, r ) pour r = r 漣 d (x ⁰, x ) 礪 0. On voit donc qu’un ensemble U est ouvert si et seulement si c’est une réunion de boules ouvertes.

La famille des ouverts d’un espace métrique vérifie les propriétés suivantes qui sont prises en topologie générale comme axiomes pour définir une topologie: (O¹) E et O/ sont des ensembles ouverts; (O²) Toute réunion (finie ou pas) d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert; (O³) Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.

Montrons ce dernier point. Soit U¹, U², ..., Uⁿ des ouverts; si l’intersection est vide, c’est terminé d’après (O¹). Sinon, soit x 捻 U¹ 惡 ... 惡 Uⁿ = U; par hypothèse, il existe r ⁱ , i = 1, ..., n , tels que B(x , r ⁱ ) 說 Uⁱ et par suite B(x , r ) 說 U pour r = inf (r ¹, ..., r ⁿ ).

On dit que deux distances d ¹ et d ² sur un même ensemble E sont (topologiquement) équivalentes si les ouverts correspondants sont les mêmes. Cela signifie que toute boule ouverte B¹ de centre x ⁰ par rapport à la distance d ¹ contient une boule B² de centre x ⁰ (par rapport à la distance d ²), puisque x ⁰ 捻 B¹, qui, étant un ouvert pour d ¹, est aussi un ouvert pour d ², et vice versa. C’est ce qui se produit pour les trois distances d ¹, d ² et d ³ considérées plus haut sur R², qui définissent les mêmes ouverts (cf. figure). Remarquons aussi que, sur R, la distance usuelle d définie à partir de la valeur absolue par d (x , y ) = |x 漣 y |, et pour laquelle les boules sont les intervalles, est topologiquement équivalente à la distance d pour laquelle R est un sous-espace métrique de R 漣 (cf. chap. 1), c’est-à-dire:

Par passage au complémentaire, on définit la famille des fermés d’un espace métrique: un sous-ensemble F de E est dit fermé si son complémentaire dans E est un ensemble ouvert. Par exemple toute boule fermée B^f (x ⁰, r ) est un ensemble fermé ; en effet, si x 殮 B^f (x ⁰, r ), on a:

pour r = d (x ⁰, x ) 漣 r 礪 0, comme cela résulte facilement de l’inégalité triangulaire. Des propriétés (O¹), (O²) et (O³) il résulte facilement que O/ et E sont des fermés; toute intersection (finie ou pas) de fermés est un fermé; toute réunion finie de fermés est un fermé. Si A est un sous-ensemble quelconque de E, il existe donc un «plus petit» (pour l’inclusion) ensemble fermé contenant A, à savoir l’intersection A 漣 de la famille de tous les fermés qui contiennent A; cet ensemble A 漣 est aussi le complémentaire du «plus grand» (toujours pour l’inclusion) ensemble ouvert ne rencontrant pas A, qui est la réunion des boules ouvertes ne rencontrant pas A. Ainsi, un point x 捻 E appartient à A 漣 si et seulement si toute boule ouverte de centre x rencontre A, ce qui revient au fait que la distance de x à A est nulle: on dit alors que x est un point adhérent à A. L’ensemble fermé A 漣 s’appelle la fermeture , ou l’adhérence de A. On dit que A est partout dense dans E si A 漣 = E; par exemple l’ensemble Q des nombres rationnels est partout dense dans R.

Les notions précédentes sont la transposition, au moyen des boules, de notions familières dans les espaces numériques et, comme telles, sont aussi l’objet d’un investissement intuitif qui n’est cependant pas toujours justifié. Ainsi on pourrait penser que l’adhérence d’une boule ouverte est toujours la boule fermée de même centre et de même rayon mais, si cela est vrai pour les espaces vectoriels normés, les espaces ultramétriques nous réservent ici encore des surprises. En effet, montrons que, dans un tel espace, toute boule ouverte B(x ⁰, r ), qui est un ensemble ouvert comme nous l’avons vu, est aussi un ensemble fermé et, par suite, est sa propre adhérence. Il suffit pour cela de remarquer que si x 殮 B(x ⁰, r ), alors la boule B(x , r /2) ne rencontre pas la boule B(x ⁰, r ) car sinon, puisqu’il n’y a pas de boules «sécantes», la boule de rayon r /2 serait contenue dans l’autre (cf. fin du chap. 1), d’où, en particulier, x 捻 B(x ⁰, r ), ce qui contredit l’hypothèse sur x.

Voisinages et continuité

Introduisons maintenant les voisinages pour préciser la notion de continuité. Soit E un espace métrique de distance d . On dit qu’un ensemble V 說 E est un voisinage d’un point x 捻 E s’il contient un ouvert contenant x ; cette notion donc est «topologique»: elle ne dépend que des ouverts de l’espace métrique E, ouverts caractérisés, à leur tour, par le fait qu’ils sont voisinages de chacun de leurs points (cf. TOPOLOGIE – Topologie générale). En particulier, les boules ouvertes de centre x sont des voisinages de x et il en est de même des boules fermées puisqu’on a toujours B(x , r ) 說 B^f (x , r ). Les boules ouvertes (ou les boules fermées) de centre x constituent un système fondamental de voisinages de x , en ce sens qu’un ensemble est un voisinage de x si et seulement s’il contient une telle boule; on obtient un système fondamental dénombrable de voisinages en se limitant par exemple aux boules de rayon 1/n , avec n entier positif.

Soit maintenant E et E deux espaces métriques de distances respectives d et d et f une application de E dans E . Analysons la notion de continuité telle qu’elle est suggérée de manière naturelle par la définition classique (quand E = E = R muni de la distance usuelle définie à partir de la valeur absolue): on dit que f est continue en un point x ⁰ 捻 E si, pour tout nombre réel 﨎 礪 0, il existe un nombre réel 兀 礪 0 tel que:

ce qui exprime l’inclusion:

or, dire qu’il existe 兀 tel que l’on ait cette inclusion signifie que l’image réciproque par f de la boule B (f (x ⁰), 﨎) est un voisinage de x ⁰ dans E. Puisqu’une partie de E est un voisinage de f (x ⁰) si et seulement si elle contient une boule de centre f (x ⁰), on peut maintenant donner, en termes de voisinages seuls, la définition suivante de la continuité: f est continue en x ⁰ si et seulement si l’image réciproque par f de tout voisinage de f (x ⁰) est un voisinage de x ⁰.

Il en résulte que f est continue en tout point de E (on dit que f est continue, sans préciser davantage) si et seulement si l’image réciproque par f de tout ouvert de E est un ouvert de E.

Les notions précédentes sont topologiques: elles ne dépendent que des ouverts des espaces considérés. Il est utile d’avoir une notion de continuité plus forte, qui n’est plus seulement topologique, utilisant le fait que l’on peut «comparer» les voisinages de deux points distincts grâce aux rayons des boules. Plus précisément, on dira qu’une application f : EE est uniformément continue si, pour tout 﨎 礪 0, il existe 兀 礪 0 tel que:

ou encore:

pour tout x 捻 E. Un cas particulier de cette situation est fourni par les applications lipschitziennes: on dit que f est lipschitzienne de rapport k si on a:

quels que soient x , y dans E; ainsi l’image réciproque par f de la boule de centre f (x ) et de rayon r contient la boule de centre x et de rayon r/k. Par exemple, on a vu plus haut que, pour toute partie A de E, l’application qui à x 捻 E associe sa distance à A est lipschitzienne de rapport 1.

Le langage des suites

Soit (u ⁿ ) une suite de points d’un espace métrique E (de distance d ). On dira de manière naturelle que cette suite converge vers un élément a 捻 E pour n tendant vers l’infini si d (a ,u ⁿ )0 pour n 秊. Pour tout 﨎 礪 0, il existe donc un entier N tel que:

c’est-à-dire:

ainsi u ⁿ a pour n 秊 si, pour tout voisinage V de a , il existe un entier N tel que u ⁿ 捻 V pour n 閭 N. On peut dire aussi que V contient les u ⁿ sauf pour un nombre fini d’entiers n . Remarquons que la notion de suite convergente est topologique.

La définition précédente généralise bien entendu la notion de limite d’une suite dans l’espace Rⁿ pour l’une quelconque des distances équivalentes habituelles. À titre d’exemple, cherchons maintenant à quelle condition une suite (u ⁿ ) de nombres réels positifs va converger vers l’élément + 秊 dans la droite réelle achevée R 漣 munie de la distance d décrite dans le chapitre 1. On a:

pour tout x 閭 0. Soit 﨎 礪 0; on aura d (+ 秊, u ⁿ ) 麗 﨎, pour u ⁿ 礪 (1/ 﨎) 漣 1. Ainsi u ⁿ + 秊 pour n 秊 si et seulement si, pour tout M = (1/ 﨎) 漣 1, il existe un entier N tel que:

on retrouve la notion classique de suite de nombres réels «tendant vers l’infini» pour n 秊.

Dans un espace métrique E de distance d , le fait que tout point possède un système fondamental dénombrable de voisinages permet d’exprimer toutes les propriétés topologiques en termes de suites. Montrons par exemple qu’un point x ⁰ est adhérent à une partie A de E si et seulement s’il est limite dans E d’une suite de points de A: pour x adhérent à A, si on choisit pour tout entier positif n un point u ⁿ dans A 惡 B(x ⁰, 1/n ), on obtient une suite de points de A qui converge vers x ⁰, puisque d (x ⁰,u ⁿ ) 麗 1/n ; réciproquement, si (u ⁿ ) est une suite de points de A qui converge vers x ⁰, tout voisinage V de x ⁰ contient tous les termes de la suite pour n assez grand et par suite A 惡 V O/. Un ensemble A est donc fermé si et seulement s’il contient les limites de toutes ses suites qui sont convergentes dans E; ainsi, on peut définir les fermés, et par complémentarité les ouverts, à partir de la notion de suite convergente. De même, on montre qu’on peut caractériser la continuité d’une application f en termes de suites: une application f d’un espace métrique dans un autre est continue en un point x ⁰ si et seulement si, pour toute suite (u ⁿ ) qui converge vers x ⁰, la suite image (f (u ⁿ )) converge vers f (x ⁰). La compacité va nous donner d’autres exemples de l’importance de la notion de suite.

Espaces métriques compacts

On montre que tout sous-ensemble fermé et borné C de l’espace numérique Rⁿ possède la propriété suivante, appelée propriété de Borel-Lebesgue : pour toute famille (Uⁱ ) d’ouverts de Rⁿ dont la réunion contient C (on dit qu’on a un recouvrement ouvert de C), il existe une sous-famille finie U^{i 1}, ..., U^{i n} dont la réunion contient C. L’importance de cette propriété dans de nombreuses questions fines d’analyse mathématique a conduit à étudier systématiquement les espaces topologiques qui la possèdent ^{[cf. TOPOLOGIE - Topologie générale]}.

On dit qu’un espace métrique E est compact si, pour toute famille d’ouverts de E dont la réunion est égale à E, il existe une sous-famille finie possédant cette propriété. Ainsi, tout fermé borné C de Rⁿ , muni de la distance induite par celle de Rⁿ , est un espace métrique compact (car les ouverts du sous-espace métrique C sont les intersections avec C des ouverts de Rⁿ ); en particulier, pour n = 1, le segment fermé [ 漣 1, + 1] est compact et il en est donc de même de la droite numérique achevée R 漣 qui est isométrique à ce segment (cf. chap. 1).

Tout espace métrique compact est de diamètre fini, ce qui exprime que la distance entre deux points d’un tel espace est bornée; on montre que tout sous-espace métrique fermé d’un espace métrique compact est compact.

Avant de donner, en termes de suites, une caractérisation des espaces métriques compacts, il nous faut introduire une nouvelle notion. On dit qu’un point a est un point d’accumulation d’une suite (u ⁿ ) si tout voisinage de a contient les points u ⁿ pour une infinité d’entiers n ; ainsi, si la suite (u ⁿ ) converge vers a , ce point a est le seul point d’accumulation, mais il peut exister plusieurs points tels, chacun d’entre eux étant caractérisé par le fait qu’on peut trouver une sous-suite de la suite initiale qui converge vers ce point. Nous pouvons maintenant énoncer la propriété de Bolzano-Weierstrass , vraie pour tout espace topologique compact, mais qui caractérise les espaces métriques compacts parmi les espaces métriques: toute suite possède au moins un point d’accumulation.

Nous renvoyons à l’article TOPOLOGIE – Topologie générale pour l’examen des très importantes propriétés des espaces compacts en mentionnant seulement ici le résultat suivant, de la théorie des espaces métriques, connu sous le nom de théorème de Heine-Borel: une application continue d’un espace métrique compact dans un espace métrique est uniformément continue. Donnons la démonstration qui est très simple et montrera comment on utilise la propriété de Borel-Lebesgue. Soit E et E des espaces métriques de distances respectives d et d et f : EE une application continue. Choisissons un nombre réel positif 﨎. La continuité de f entraîne que, pour tout point x 捻 E, il existe un nombre réel 兀(x ), dépendant de x , tel que:

les boules ouvertes B(x , 兀(x )/2), x 捻 E, forment un recouvrement ouvert de E dont on peut, puisque E est compact par hypothèse, extraire un recouvrement fini fermé de boules de centres x ¹, x ², ..., x ⁿ . Soit maintenant 兀 le plus petit des nombres 兀(x ¹)/2, ..., 兀(x ⁿ )/2. Montrons que:

ce qui établira l’uniforme continuité de f. En effet, le point x appartient à au moins une des boules du sous-recouvrement fini, soit la boule de centre x ⁱ , c’est-à-dire d (x ⁱ ,x ) 麗 兀(x ⁱ )/2, d’où:

puisque d (x ,y ) 麗 兀(x ⁱ )/2, on a, par l’inégalité triangulaire, d (x ⁱ ,y ) 麗 兀(x ⁱ ), d’où:

et par suite, en utilisant encore une fois l’inégalité triangulaire,

Les espaces numériques Rⁿ ne sont pas compacts, mais tout point possède un système fondamental de voisinages compacts constitué par les boules fermées. On dit qu’un espace métrique dans lequel tout point a un système fondamental de voisinages compacts (ce qui revient à dire que, pour tout x , les boules fermées de centre x et de rayon assez petit sont compactes) est un espace localement compact .

3. Espaces métriques complets

Alors qu’au chapitre précédent les notions introduites (à l’exception de l’uniforme continuité; cf. infra ) sont topologiques, les notions de ce chapitre dépendent de manière essentielle de la distance.

Suites de Cauchy

B. Bolzano et A. Cauchy ont dégagé l’importance du critère de convergence suivant, qui ne fait pas intervenir la valeur de la limite: une suite (u ⁿ ) de nombres réels est convergente si et seulement si, pour tout 﨎 礪 0, il existe un entier N tel que :

(cf. CALCUL INFINITÉSIMAL – Calcul à une variable; nombres RÉELS). D’où le nom de suite de Cauchy donné à une suite (u ⁿ ) d’éléments d’un espace métrique E, de distance d , telle que, pour tout 﨎 礪 0, il existe un entier N tel que:

Il est facile de voir que toute suite convergente (u ⁿ ), de limite a , est a fortiori une suite de Cauchy. Pour tout 﨎 礪 0, il existe N tel que n 閭 N 輦 d (u ⁿ ,a ) 麗 﨎/2; pour p 閭 N et q 閭 N, on a donc, en appliquant l’inégalité triangulaire, d (u ^p ,u ^q ) 諒 d (u ^p ,a ) + d (a ,u ^q ) 麗 﨎. Au contraire, l’exemple de l’ensemble des nombres rationnels montre qu’une suite de Cauchy n’est pas toujours convergente. On dit qu’un espace métrique, comme Rⁿ , dans lequel toute suite de Cauchy est convergente, c’est-à-dire dans lequel les suites de Cauchy coïncident avec les suites convergentes, est un espace complet .

Les notions de suite de Cauchy et d’espace complet ne dépendent pas que de la topologie de l’espace métrique. Pour illustrer ce fait, désignons par R¹ l’ensemble des nombres réels muni de la distance usuelle, définie à partir de la valeur absolue, et par R² ce même ensemble muni de la distance induite par celle de R 漣 (cf. chap. 1); on a vu que les ouverts de R¹ et R² sont les mêmes (ce qui signifie que les deux distances sur R sont équivalentes). Considérons la suite des entiers naturels, dont le n -ième terme est l’entier n ; ce n’est manifestement pas une suite de Cauchy pour la distance usuelle sur R, mais c’est une suite de Cauchy dans R², puisqu’elle converge vers l’élément + 秊 dans R 漣. D’autre part, l’espace R¹ est complet, tandis que l’espace R² ne l’est pas car la suite (de Cauchy) des entiers naturels n’est pas convergente dans cet espace: cela tient au fait que R² n’est pas un sous-espace fermé de l’espace métrique R 漣 (qui est complet car isométrique au segment [ 漣 1, + 1]); plus généralement, la caractérisation des fermés au moyen des suites (cf. chap. 2) montre qu’un sous-espace métrique F d’un espace métrique complet est complet si et seulement s’il est fermé dans E.

Dans l’exemple précédent, l’application identique i : R²R¹, définie par i (x ) = x pour tout x 捻 R, est continue, ce qui montre que l’image d’une suite de Cauchy par une application continue n’est pas nécessairement une suite de Cauchy. Par contre, les définitions montrent immédiatement que l’image d’une suite de Cauchy par une application uniformément continue est une suite de Cauchy , donc une suite convergente si l’espace d’arrivée est complet. Donnons, comme application de cette remarque, un important théorème de prolongement.

Théorème de prolongement des applications uniformément continues : Soit E un espace métrique, A un sous-ensemble partout dense de E (cela signifie, rappelons-le que tout point de E est adhérent à A) et F un espace métrique complet . Alors toute application f : AF qui est uniformément continue se prolonge de manière unique en une application continue g : EF; de plus, g est uniformément continue.

Nous nous bornerons à indiquer l’idée de la démonstration. Pour x 捻 A, on doit avoir g (x ) = f (x ), et il faut donc définir g (x ) pour x 殮 A. Or, puisque A est dense, il existe une suite (x ⁿ ) d’éléments de A qui converge vers x et, l’application g cherchée étant continue, on doit avoir nécessairement g (x ) = limg (x ⁿ ), avec g (x ⁿ ) = f (x ⁿ ); mais la suite (f (x ⁿ )), image d’une suite de Cauchy par une application uniformément continue, est une suite de Cauchy et, puisque F est complet, c’est une suite convergente, dont nous désignerons précisément la limite par g (x ). Il reste à vérifier que g (x ) ne dépend pas de la suite d’éléments de A qui converge vers x et que l’application g ainsi définie est uniformément continue, ce qui est un raisonnement élémentaire utilisant l’inégalité triangulaire.

Précisons enfin le lien entre les espaces métriques compacts et complets. Remarquons d’abord qu’une suite de Cauchy a au plus un seul point d’accumulation: ou bien elle n’en a aucun et elle ne converge pas, ou bien elle a exactement un point d’accumulation et elle converge alors vers ce point. Par suite, la propriété de Bolzano-Weierstrass montre que tout espace métrique compact est complet. Réciproquement, on montre qu’un espace métrique complet E est compact si et seulement s’il vérifie la propriété suivante de précompacité : Pour tout 﨎 礪 0, il existe un recouvrement fini de E par des boules de rayon 﨎.

Complétion d’un espace métrique

La construction, due à Cantor, des nombres réels comme classes d’équivalence de suites de Cauchy de nombres rationnels («suites fondamentales» dans la terminologie cantorienne) se transpose sans modification à un espace métrique quelconque.

Théorème de complétion . Pour tout espace métrique E, il existe un espace métrique complet E tel que E soit isométrique à un sous-espace partout dense de E; de plus, l’espace E est déterminé à une isométrie près.

On dit que E est le complété de E, et on identifie dans la pratique E au sous-espace partout dense de E qui lui est isométrique. Ainsi, le complété de l’ensemble des rationnels pour la distance usuelle est l’ensemble des réels muni de la distance usuelle. Si on considère sur l’ensemble des rationnels la distance p -adique associée à un nombre premier p , on obtient comme complété l’ensemble des nombres p -adiques (cf. théorie des NOMBRES-Nombres p -adiques).

Esquissons la construction du complété E. Nous dirons que deux suites de Cauchy (x ⁿ ) et (y ⁿ ) d’éléments de E sont équivalentes si d (x ⁿ ,y ⁿ )0 pour n秊. Il est clair que l’on définit ainsi une relation d’équivalence sur l’ensemble 劉 de toutes les suites de Cauchy d’éléments de E; nous désignerons par E le quotient de 劉 par cette relation d’équivalence, et nous allons construire une distance sur E. Si x = (x ⁿ ) et y = (y ⁿ ) sont deux suites de Cauchy, on montre que la suite de nombres réels d (x ⁿ ,y ⁿ ) est convergente pour n秊 (car c’est une suite de Cauchy) et que la limite ne change pas si on remplace x et y par des suites qui leur sont respectivement équivalentes; cette limite ne dépend donc que des classes d’équivalence face="EU Updot" 來 et face="EU Updot" 冷 des suites x et y et nous la désignerons par 嗀( face="EU Updot" 來 , face="EU Updot" 冷 ). On vérifie maintenant facilement que 嗀 est une distance sur E; le fait que E soit complet pour cette distance se montre par le célèbre «procédé diagonal» de Cantor, dont nous allons indiquer le principe: soit (x ^(p) ), x ^(p) = (x ^1(p) , ..., x ^{n (p)} , ...) une suite de Cauchy d’éléments de E (pour simplifier les notations, nous commettons ici l’abus de langage qui consiste à identifier x ^(p) avec sa classe d’équivalence); on montre alors que la suite (x ^(p) ) converge dans E vers la classe de la suite diagonale (x ¹⁽¹⁾, x ²⁽²⁾, ..., x ^{n (n)} , ...).

Construisons maintenant une injection de E dans E. Pour a 捻 E, nous désignerons par 﨏(a ) 捻 E la classe d’équivalence de la suite constante (a , a , ..., a , ...); il est clair que 嗀( 﨏(a ), 﨏(b )) = d (a ,b ), et par suite 﨏 réalise une isométrie de E sur le sous-espace métrique F de E formé des classes d’équivalence des suites constantes. L’ensemble F est partout dense dans E car si x = (x ⁿ ) est une suite de Cauchy d’éléments de E, alors la suite ( 﨏(x ⁿ )) d’éléments de F converge vers face="EU Updot" 來 dans E.

La méthode des approximations successives

On doit à E. Picard une méthode de construction de solution d’équations par approximations successives (équations numériques, théorèmes d’existence et d’unicité d’équations différentielles ou intégrales; cf. équations DIFFÉRENTIELLES, chap. 1; équations INTÉGRALES, chap. 2) que l’on peut formuler de la manière suivante dans le cadre des espaces métriques.

Théorème du point fixe . Soit E un espace métrique complet et f une application de E dans lui-même telle qu’il existe une constante k , 0 麗 k 麗 1, avec d (f (x ),f (y )) 諒 kd (x ,y ) quels que soient x et y dans E (on dit que f est une application contractante). Alors l’équation:

a une solution unique dans E. De plus, quel que soit x ⁰ 捻 E, la suite (x ⁿ ) définie par récurrence par x ¹ = f (x ⁰), x ⁿ⁺¹ = f (x ⁿ ) converge vers cette solution.

La démonstration est très simple et on voit clairement le rôle joué par les suites de Cauchy. Remarquons d’abord que l’unicité est évidente: si f (x ) = x et f (y ) = y , on aura d (f (x ),f (y )) = d (x ,y ) 諒 k d (x ,y ), d’où d (x ,y ) = 0. Il suffit donc de montrer que la suite (x ⁿ ) est convergente car, si sa limite est x , on obtient immédiatement x = f (x) en faisant tendre n vers l’infini dans la relation de récurrence x ⁿ⁺¹ = f (x ⁿ ). Or on a:

d’où, par récurrence sur p ,

par l’inégalité triangulaire, on a maintenant, pour q 閭 p ,

soit, en remplaçant la progression géométrique de raison k par sa somme et en majorant cette dernière:

et donc

d (x ^q ,x ^p )0 pour p , q秊 puisque 0 麗 k 麗 1. La suite de Cauchy (x ⁿ) converge dans E vers une certaine limite x puisque E est complet. Remarquons que si on fait tendre q vers l’infini dans l’inégalité précédente, on obtient:

qui précise la rapidité de convergence de la suite (x ⁿ ) vers x .

4. La propriété de Baire

Les sous-espaces ouverts des espaces métriques complets et les espaces métriques localement compacts possèdent la propriété suivante, appelée propriété de Baire , qui joue un rôle important dans de nombreuses questions d’analyse: Si Uⁿ est une suite d’ouverts partout denses, alors l’intersection des Uⁿ est un ensemble partout dense .

Sous le nom de «méthode de la catégorie», ce résultat a été utilisé systématiquement par l’école mathématique polonaise pour démontrer de profonds théorèmes (théorème du graphe fermé, théorème de Banach-Steinhaus; cf. Stefan BANACH; espaces vectoriels NORMÉS).

Par passage au complémentaire, on peut énoncer cette propriété: si Fⁿ est une suite de fermés dont le complémentaire est partout dense, alors la réunion des Fⁿ a un complémentaire partout dense. On dit qu’un ensemble A est rare si le complémentaire de son adhérence est partout dense; ainsi, la propriété de Baire entraîne que, si un ensemble est réunion dénombrable d’ensembles rares (on dit qu’un tel ensemble est maigre ), son complémentaire est partout dense. En particulier ce complémentaire est non vide; ce type de raisonnement a été utilisé par S. Banach pour démontrer l’existence de fonctions possédant des singularités données à l’avance. Voici maintenant, pour terminer, un énoncé faisant intervenir la notion d’ensemble maigre et permettant, grâce à elle, de «dire quelque chose» d’une fonction qui est limite simple d’une suite de fonctions continues (on sait qu’une telle limite n’est pas nécessairement une fonction continue): Si E est un espace métrique complet et F un espace métrique, soit f ⁿ une suite d’applications continues de E dans F telles qu’en chaque point x 捻 E la suite (f ⁿ (x )) converge dans F vers un élément f (x ). Alors l’ensemble des points x de E où f n’est pas continue est un ensemble maigre.

Encyclopédie Universelle. 2012.